基础概念
它扩展了单变量函数的微积分概念到多变量的环境，可以描述现实世界中许多复杂的场景，假设我们有一个薄的平面板，其密度不均匀，密度函数为 $\rho(x, y)$ ，表示在平面上任意点 $ (x, y) $处的密度（单位为质量/单位面积）。我们希望计算这个平面板的总质量。
定义问题：设平面板的形状为矩形区域 D ，其边界是 $a \leq x \leq b$ 和 $c \leq y \leq d$ 。密度函数 $\rho(x, y)$ 给出在 $(x, y)$ 处的密度。
具体来说，若 D 是矩形区域 $[a, b] \times [c, d]$ ，二重积分表示为：
$$ M = \int_c^d \int_a^b \rho(x, y) \, dx \, dy $$
实际计算，假设密度函数是 $\rho(x, y) = 2x + 3y$ ，而区域 D 是矩形区域 $[0, 2] \times [0, 3]$，那么，总质量 M 计算如下：
$$M = \int_0^3 \int_0^2 (2x + 3y) \, dx \, dy$$
偏导数
偏导数是指多元函数对某一个变量的导数，其他变量保持不变。假设有一个函数 $ f(x, y)$ ，其相对于 $x$ 的偏导数表示为 $\frac{\partial f}{\partial x}$ ，相对于 $y$ 的偏导数表示为 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。
例如，对于函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ ，其对 $x$ 的偏导数为：
$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$$
而对 $y$ 的偏导数为：
$$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y$$
偏微分
多元函数在某一变量发生微小变化时，函数值的微小变化量。它实际上是偏导数乘以微小增量
如果 $z = f(x, y)$ ，那么 $x$ 方向的偏微分表示为 $\frac{\partial f}{\partial x} dx$ ，而 $y$ 方向的偏微分表示为 $\frac{\partial f}{\partial y} dy $
全微分
多个变量的微分求和，假设有一个多变量函数 $z = f(x, y)$ ，其中 $x$ 和 $y$ 是自变量，那么 $f(x, y)$ 的全微分 $dz$ 表达式为
$$ dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy $$
其中，$\frac{\partial f}{\partial x}$ 是函数 $f$ 对 $x$ 的偏导数。$\frac{\partial f}{\partial y} $是函数 $f$ 对 $y$ 的偏导数。$dx$ 和 $dy$ 是自变量 $x$ 和 $y$ 的微小增量。
例题： $z = f(x, y) = x^2 + 3xy + y^2$ 。
对 $x$ 求偏导数：
$$ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$$
对 $y$ 求偏导数：
$$ \frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 2y$$
写出全微分：
$$ dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy $$
将偏导数代入，得到：
$$ dz = (2x + 3y) dx + (3x + 2y) dy $$
常微分方程(普通微分方程)
常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）之所以叫“常微分方程”，是为了将其与“偏微分方程”（Partial Differential Equation, PDE）区分开来。这个名称反映了它们涉及的微分运算的不同性质和复杂性。偏微分方程中的“偏”表示方程中的微分操作涉及多个自变量。
常微分方程中的“常”表示的是方程中的微分操作只涉及一个自变量。因此，方程中的微分称为“常微分”，例如，经典的一阶常微分方程可以写成： $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$
阶数
一阶：$ \frac{dy}{dx} = 3x + 2y $
二阶：$ \frac{d^2y}{dx^2} - 4y = 0 $
高阶： $ \frac{d^3y}{dx^3} + y = \sin(x) $
线性与非线性
在一个微分方程中，如果未知函数 $y$ 和它的导数 $y{\prime}$ 以线性形式出现，即它们都是一次幂且没有乘积或其他非线性形式（如 $y^2$ 或 $y \cdot y{\prime}$ ），那么这个方程就是线性的。
线性：$ \frac{dy}{dx} + 2y = e^x $
非线性：$ \frac{dy}{dx} = y^2 + x $
方程形式
在英文中，“homogeneous” 这个词来源于希腊语“homos”，意思是“相同的”。对于齐次方程，所有项要么都是零，要么是有关联的(线性组合)，因此它们被看作是“相同的”类型。
齐次：所有项都是未知函数的导数或未知函数的线性组合（即没有独立的非零常数项）
齐次：$ y{\prime}{\prime} + 2y{\prime} + y = 0 $
非齐次：$ y{\prime}{\prime} + 2y{\prime} + y = e^x $
解的显式性
将方程解为 $y$ 或其导数的显式形式
显示解：$ \frac{dy}{dx} = 2x + 3 $
隐式：$ y \frac{dy}{dx} = x^2 + y^2 $
系数性质(常、变)
二阶常系数：$ y{\prime}{\prime} - 3y{\prime} + 2y = 0 $
二阶变系数：$ x^2 y{\prime}{\prime} + x y{\prime} - y = 0 $
可解性
判断一个常微分方程是否可解，尤其是能否通过解析方法得到显式解，通常需要依靠经验、已有的解法理论以及对方程形式的分析。以下是一些常用的判断方法和原则：
分离变量法：适用于可以将方程的变量分离的情况。
示例： $\frac{dy}{dx} = xy $
解法：将方程改写为 $\frac{1}{y} dy = x dx $ ，然后两边分别积分，得到 $\ln |y| = \frac{x^2}{2} + C $ ，从而可以得到显式解 $y = Ce^{x^2/2}$ 。
积分因子法：适用于线性一阶微分方程。
示例： $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $
解法：通过引入一个积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$ ，可以使方程变为可积分形式。
特征方程法：用于常系数线性微分方程。
示例： $y{\prime}{\prime} - 3y{\prime} + 2y = 0 $
解法：求特征方程的根，得到通解。